認知症の祖母は自分の腕や首をかきむしってしまいます。

エアコンを効かせて長袖を着せたり、タートルネックを着せるなどしていますが、なかなかおさまりません。

よくミトンの手袋をすると聞きますがダメでした。どうすればいいでしょう？

汗腺が何らかの炎症（細菌など侵入）を起こしている？かもしれないので、すぐに皮膚科へ連れて行きましょう。ＧＨなどの老人はほとんどが爪に水虫細菌を持ってました。老人の入る風呂場は細菌だらけかも・・・移されないように。

精神科を受診する

掻くことが一番の問題ですよね。掻いておられる時の本人の言動や表情、仕草などはどうですか？皮膚状態そのものに原因があるのか、その他の部分に原因があるのか、様々な点から可能性を考えて本人が快適に過ごせるように解決できたらいいですね。
掻いた後に傷ができることが問題と捉えていては、いつまでたっても解決しませんよ。

皆様が書かれている様に痒いのだと思います。
勤務する施設に同じような人がいました。寝ながらも掻いてました。
以下の対策をしていました。

〇保湿第一。で保湿クリームを塗る。塗る前は温タオルで前回のクリームをとってから（タオルをチンして簡単に拭く）
〇下着は綿１００％の長袖。その上に半袖のブラウスも着たが肌は隠す。
（クビは丸首でした）
〇爪は切る。切り口に透明マニュキア。

掻くのは正直止められなかったです。でも、掻く事が問題なのではなく、掻いた結果肌が傷つく事が問題なので・・・皮膚保護に重点を置きました。

痒いとか、不快感があるのではないでしょうか？保湿はしていますか？自分は子供のころから乾燥肌で冬には何もケアしなければ手はひび割れ、足は粉雪舞うようです。
とりあえずは保湿クリームを塗って様子を見てはいかがでしょう。
肌に触れるものは綿素材等自然のものが良いです。

ごめんなさい、とんでもなく途中送信になっていました。
長袖やタートルネックが、むしろ「かゆい」原因ではと思うのですが。。。。

かゆいんじゃない?