介護の資格が無い支援員が点眼できるのか

職業で行い業務で行うので、ダメでしょう。
自分や身内に自己責任で、目薬を差すのとは訳が違う。
常識的な見解です。

支援員とは、介護職ですよね。
この介護事業は公的保険制度に則った形で、法制度により賄われています。
なので違法行為は、介護報酬が貰えないどころか、基準違反で摘発対象に成る。
何が出来て、出来ないかは、老計第10号に介護職の行動指針がある。
それをよく見て置いたほうが良い。

点眼薬は大丈夫だけど眼軟膏はダメって習いました

ホームヘルパー支援では、家族が居ない方、同居人が居ない方はケアマネ医師もアセスメントで把握して許可がでますし、また、離れたご家族や、点眼時間にご家族が居なければ、民政員となっていたり、知り合いとなっていたりしますね。それでも、居ない場合はしかたがないのでサ責から指示がでます。ご家族の指示が有れば大丈夫となっています。

うちの職場でもしていますよ。看護師からの指導を受けてね。

無資格だからとか有資格だからと関係なく、医療資格がなく、そして医師の指示がない場合での、薬物の業務上の投与は認められていません。家族が行う事は違法ではありません。業務上と言うのは、家族以外が行うという意味です。金銭の授受は関係ありません。赤の他人が行ってはいけないのです。服薬投薬は医療行為です。以上が法律上の原則ですが、現状は、業務上の必要から、「黙認されているに過ぎない」という事を理解しておく必要があります。もし、服薬・投薬事故が起きて、それが重大事故ならば、たとえグレーゾーンであっても、審理され処罰されます。そうならないために、服薬支援の必要がある福祉事業所などでは、服薬に対するリスクマネージメントとして、服薬支援マニュアルなどの行動基準の設置と遵守が励行されています。

名称独占資格なのであっても無くても変わりませんよ。