介護認定を受けた人たちの話を聞いていると、本人の様子だけでなく、家族の話(どれだけ介護に苦労しているかとか)がかなり重要になっているような気がしました。

私も近々介護認定を受ける親がいるのですが、話下手なのでしっかりと評価されるのか不安です。

家族の説明が下手だとやはり介護認定は低く出てしまうでしょうか？

質問内容を事前に介護の案内で見ましょう！とあとかかりつけ医の意見書が大切ですから、

家族もですが本人の受け答えはいかがですか？
父は要介護4で自分では何も出来ないのですが、話の受け答えがしっかりしていて、何でも自分で出来ると答えてしまうので、なかなか要介護度を上げることができませんでした。本人の性格もあると思いますが、家族以外の人にはしゃきっとする人の場合、なかなか介護の状況を伝えきれないこともあります。本人にだらしなくしろとも言えませんので、その場合はさらに家族の日常の状況を上手く伝える必要があります。

日々、箇条書きで良いので変化や困ったことを書き留めること。
で調査の時に整理したものを基に話してみましょう。そのメモは調査員にもコピーを差し上げて見てください。

口頭説明がお苦手であれば、少々手間は掛かりますが調査面談でお伝えしたい事を、文書にまとめるのも一つの手だと思います。
思いつくまま箇条書きで、説明したい事や質問事項を書き出してみては如何でしょうか？

家族３名（亡母・父・母方祖母）の介護認定調査面談に、キーパーソンとして立会いました。
家族構成（調査員に質問されます）が少々複雑な事や、各人の病歴・現状などの込み入った説明を、口頭のみで漏れなく行うには不安がありましたので。
説明時の補助として簡単な資料を作成し、調査員の方にも資料コピーをお渡しした上で、お話しさせて頂きました。

調査員へお伝えする事柄として、以下の内容が挙げられます。
《介護申請に至った理由（介護の必要性を感じた事象や、それが始まった時期）》《ご本人の病歴と現状》《現時点での困り事》《家族構成と各人の状況（仕事や家庭の有無）》など。

私の場合は、面談用に作成した資料を調査員へお渡し、お互いに内容確認しつつ話し合った事で、スムーズに意思の疎通が出来ました。
調査員の方はたった一度の面談の中、より多くの情報を得て、状況を掴まなければなりません。
ご本人（親御さん）との面談のみならず、そこに立会うご家族からの状況説明が、判定材料に影響する事は否めないかと思います。

＞＞家族の説明が下手だとやはり介護認定は低く出てしまうでしょうか？

絶対に無いとは、言いきれません…
事前に文書で、出来るだけ順序よく詳細に書き留めて、審査の際に提出すると良いです
私は、そうしました