母親が実母（私にとっての祖母）の介護をしているのですが、もう限界にきているようです。

元々、母と祖母は車で1時間くらいのところに住んでいましたが、祖父の他界をきっかけに独居は心配だからと家の近所に呼びました。介護を始めてほぼ3年、心身ともに限界にきているみたいです。祖母はもともと口が達者で、母も気が強いのでよく喧嘩をしているみたいです。喧嘩後は言い過ぎたと泣いて反省するけど、どうしてもイライラしてキツい物言いになってしまうらしく、今では顔を見るのも嫌だという状況です。

実母のことを大嫌いになる前に、母はもう遠方の兄弟のもとへ託したいと思っているのですが、本人が遠くには行きたくないと拒否しています。また、経済的な問題から入れれる施設も限られており、近くの金銭面をクリアしている施設は空きがない状態です。それに、母は近くの施設に入れても母が第一介護人として関わることももう嫌だという状況です。

祖母が遠方に行きたくないという気持ちもよくわかります。ただ、母がこのままでは介護鬱のようになってしまうのではないかと心配です。
なにかいい解決策はないか、皆様の知恵をお借りできたらと思っています。

ちなみに、母の兄は本人が来たいというなら引き取るけど、、、みたいな感じであまり乗り気ではないです。

何かいい案があればご享受お願いいたします。

お気持ち察します。
私も母を見ています93歳となります。自分の思い通りにできないと、苛立ちます。わかってはいるんでしょうが、感謝もあまりないし、やりがいもなく日々過ごしていて、介護鬱になりました。そこで、母も大事ですが、自分も大切だと、思い受け止め方を変えたり、自分だけの時間を作ることで、今は頑張っています。お母様の状況は、わかりませんが、ご自分も大切にしてください。いいアドバイスかどうか、わかりませんが、参考になればと‥

託しましょう
介護者が無理だと言ってるなら無理です

「享受（きょうじゅ）」とは、「何かを受け取り、自分のものにすること」。 自然の恵みや利便性などに感謝し、楽しむことを指します。 また、ビジネスでは「享受します」「享受いたします」と表現することも。

良く、一人の生活は不安だからと、同居や、近くに呼び寄せる人がいますが、呼び寄せられた人も、最後まで看てくれると期待して応じるのだから、上手くいかなくなったからとｿｯﾎﾟ向かれたら逆に、ありがた迷惑なんですよ。
ほっといてくれたら、地域で色々対策してくれたのにね。引き取ったら、行き詰まらないように、第三者をいれる。(外部サービス)などしてでも看て挙げないとね。
それに、実の親子の言い争いは、ドチラモ負けていないのだから虐待でもなくて、ストレス発散だとおもうしかないですよ。若い時
夫婦喧嘩を良くしていた方は、口も悪いし、脳も言い争い方になれてるから、どんなに歳をを取ろうがし、ぬまで口は減らないですよ。ですから、考えかたを変えていかないとね。

乗り気でないとわいえ、母の兄は本人が来たいというなら引き取ると言われてますし、
施設に入れるのだから遠方など関係ないですし、
なにより、母が第一介護人として関わることももう嫌だと言われている。
総合的に考えて兄の近くで入れる施設に入れてしまえばいい。第一介護人は兄にすればいい。祖母の遠方に行きたくないという意見は施設入所となればほとんど無意味な意見です。